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!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=barycenter,vectors,analytic_geometry
!set gl_title=Barycentre d'un systme de points pondrs
!set gl_level=H6 Gnrale&nbsp;Spcialit&nbsp;(Approfondissement)
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<div class="wims_thm"><h4>Thorme</h4>
Soit <span class="nowrap">\(n \in \mathbb{N}^*\),</span> \(\mathrm{A}_1, \mathrm{A}_2, \cdots,\mathrm{A}_n\) des points de l'espace et \(a_1, a_2 ,\cdots,a_n\) des rels tels que
<span class="nowrap">\(\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_i\neq 0}\).</span>
<br>
Il existe un unique point \(\mathrm{G}\) tel que
<div class="wimscenter">
 \(\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_i\overrightarrow{\mathrm{G A}_i} =\overrightarrow{0}}\)
</div>
</div>
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<div class="wims_defn">
<h4>Dfinition</h4>
Soit <span class="nowrap">\(n \in  \mathbb{N}^*\),</span> \(\mathrm{A}_1, \mathrm{A}_2,\cdots, \mathrm{A}_n\) des points de l'espace et \(a_1, a_2 ,\cdots,a_n\) des rels tels que
<span class="nowrap">\(\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_i\neq 0}\).</span>
<br>
Soit \(\mathrm{G}\) le point tel que <div class="wimscenter">
 \(\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_i\overrightarrow{\mathrm{GA}_i} =\overrightarrow{0}}\)
</div>
Le point \(\mathrm{G}\) est appel <strong>barycentre</strong> du systme de points
pondrs <span class="nowrap">\(\{(\mathrm{A}_i, a_i) \}_{1\leq i\leq n} \).
</span>
</div>
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<div class="wims_thm">
<h4>Thorme</h4>
  Soit \(n \in  \mathbb{N}^*\), \(\mathrm{A}_1, \mathrm{A}_2, \cdots, \mathrm{A}_n\) des points de l'espace,
  \(a_1, a_2,\cdots,a_n \) des rels tels que
  \(\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_i}\neq 0\) et \(\mathrm{G}\) le barycentre du systme de points pondrs
 <span class="nowrap">\(\{(\mathrm{A}_i, a_i) \}_{1\leq i\leq n} \).</span><br>
Pour tout point \(\mathrm{M}\) de l'espace,
  <div class="wimscenter">
  \(\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_i\overrightarrow{\mathrm{MA}_i}}=
  \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\overrightarrow{\mathrm{MG}}\)
  </div>
</div>
:mathematics/geometry/fr/barycenter_1
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<div class="wims_thm"><h4>Thorme</h4>
On ne change pas le barycentre de \(n\) points pondrs lorsqu'on remplace \(p\) de ces points par leur barycentre affect de la somme des coefficients des \(p\) points considrs.
</div>
:mathematics/geometry/fr/barycenter_2