\def{text f0 =xrange 0,80
yrange 0,16
arrow 0,8,80,8,20,black}
\def{text f1 =\f0
line 0,0,0,16,black}
\def{text g1 =xrange 0,80
yrange 0,20
line 79,0,79,16,black
arrow 80,8,0,8,20,black}
\def{text dessin=xrange -0.4,5.6
yrange -0.5,5.5
linewidth 1
parallel -0.4,-0.4,5.6,-0.4,0,0.2, 35, lightblue
parallel -0.4,-0.4,-0.4,5.6,0.2,0, 35, lightblue
linewidth 2
parallel -0.4,1,5.6,1,0,1,5, grey
parallel 1,-0.4,1,5.6,1,0, 5, grey

linewidth 2
arrow  -0.4,0,5.6,0,10,black
arrow   0,-0.5,0,5.5,10,black

text black,-0.2,-0.05,large,0
text black,0.9,-0.05,large,1
text black,1.9,-0.05,large,2
text black,2.9,-0.05,large,3
text black,3.9,-0.05,large,4
text black,4.9,-0.05,large,5
text black,-0.3,1.2,large,1
text black,-0.3,2.2,large,2
text black,-0.3,3.2,large,3
text black,-0.3,4.2,large,4
text black,-0.3,5.2,large,5
linewidth 1
line 4.15,1.8,4.2,1.7,red
line 4.2,1.7,4.3,1.9,red
line 4.3,1.9,4.5,1.9,red
}
\def{text Gr1=\dessin
linewidth 3
plot black,x
plot green,x^2
plot red,sqrt(x)

text black,3.5,3.3,giant,y = x
text green,0.7,3.6,giant,y = x
text green,1.5,3.7,large,2
text green,0.8,0.4,giant,f
text red,3.5,1.9,giant,y =
text red,4.3,1.9,giant,x
text red,0.2,0.9,giant,g
}
Considrons une fonction \(f) dfinie sur l'ensemble de dfinition \(D_f) et dont l'ensemble des images est \(I_f).<br>
Le mot <strong>fonction</strong> impose que chaque lment de \(D_f) ait une image et une seule.<br>
Si <b>chaque lment de \(I_f) est l'image par \(f) <u>d'un seul</u> lment de \(D_f)</b>,
autrement dit s'il a <u>un seul</u> antcdent par \(f) dans \(D_f), <br>
alors on peut dfinir une fonction \(g) de \(I_f) dans \(D_f) qui  chaque lment de \(I_f) <b>associe son antcdent</b> par \(f).<br>
On dit alors que \(g) est la <b>fonction rciproque</b> de \(f).<p>
Schmatiquement :
<div class="wimscenter">
\(\begin{matrix}
  D_f & \Large{\overset{f}{\longrightarrow}}&I_f\\
  x & \Large{\mapsto}&y = f(x)\\
  x = g(y)&\Large{\overset{g}{\mapsfrom}}&y
  \end{matrix}
 \left |\begin{matrix}
  = D_g&\Large{\overset{g}{\longrightarrow}}&D_f = I_g\\
  y&\Large{\mapsto}&x = g(y)&\\
  y = f(x)& \Large{\overset{f}{\mapsfrom}}&x
  \end{matrix}
  \right |
  \begin{matrix}&\\&g(f(x)) = x\\&f(g(y)) = y\\&\end{matrix}
\)
</div>
<p>
En passant de \(f)  \(g), on a en quelque sorte invers les variables de dpart et d'arrive.
En consquence, le graphique de \(g) est obtenu  partir de celui de \(f) en inversant les axes.
Et si le repre est orthonorm, la courbe de \(g) est obtenue par symtrie orthogonale de celle de \(f)
par rapport  la droite d'quation \(y=x).
</p><p>
C'est ainsi que l'on peut dfinir et tracer la courbe de la fonction racine carre  partir de celle de la fonction carr
dfinie sur \(\lbrack 0 ; +\infty \lbrack\), et plus gnralement celle de la fonction racine \(n)<sup>ime</sup>  partir de
la fonction puissance \(n) dfinie sur \(\lbrack 0 ; +\infty \lbrack\).
</p>
<ul class="inline wims_nopuce">
<li>\draw{200,200}{\Gr1}</li><li>
<img alt="Courbes des fonctions puissances 2, 3 et 12 et de leurs fonctions rciproques" src="\filedir/racnx_xn.png"/>
</li></ul>
<h3 class="l2w_content thm">Thorme</h3><div class="l2w_content thm">
<p>
Si une fonction \(f) est dfinie, continue et strictement croissante sur un intervalle I et si l'ensemble des images
est un intervalle J, alors \(f) admet une fonction rciproque \(g) de J dans I qui est strictement croissante sur J.
</p></div>
<p>L'expression <strong>strictement croissante</strong> peut tre remplace par <strong>strictement dcroissante</strong>.<br>
Une fonction est croissante si les images sont dans le mme ordre que les antcdents
donc sa rciproque est alors aussi croissante.
Elle est dcroissante si les images sont dans l'ordre inverse des antcdents, dans ce cas sa rciproque est aussi dcroissante.
L'adverbe <strong>strictement</strong> signifie que deux nombres distincts de l'ensemble de dfinition I n'ont pas la mme image,
ce qui garantit que la fonction admet une fonction rciproque.
</p><p>
Le mot <strong>continue</strong> signifie prcisment que l'image de tout intervalle inclus dans I
est un intervalle, autrement dit, il n'y a pas de "trous" dans l'ensemble des images.
Toutes les fonctions linaires, affines, trinmes et plus gnralement les polynmes sont des fonctions continues
sur chaque intervalle de \(\,\RR). Il en est de mme de chaque fonction racine
\(n)<sup>ime</sup>.</p>
La fonction inverse est dfinie, continue et strictement dcroissante sur
\(\rbrack 0;+\infty\lbrack\) et l'ensemble des images est
\(\rbrack 0 ; +\infty \lbrack\), elle admet donc une fonction rciproque dfinie de
\(\rbrack 0 ; +\infty\lbrack\)
dans \(\rbrack 0 ; +\infty \lbrack\) ;
c'est la fonction inverse elle-mme ! Or pour \(x \ne 0), \(\frac{1}{x} = x^{-1}) ;
on voit que l'on peut enrichir l'ensemble des
puissances rationnelles avec des exposants ngatifs  condition de rduire l'ensemble de dfinition
 \(\rbrack 0 ; +\infty \lbrack\).</p>
Remarquons aussi que la fonction rciproque de \(x \mapsto x^{3/2}) est \(y \mapsto y^{2/3})
car \((x^{3/2})^{2/3} = x) et de faon plus gnrale, pour deux entiers \(n) et \(d) non nuls,
la fonction rciproque de  \(x \mapsto x^{n/d}) est \(y \mapsto y^{d/n}).
